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ゲームの楽しさとは 

今日、日本から持ってきたドラマ古畑任三郎の動画を見ていると、
確か自分が小学校の頃に流行った数字当てゲームが出てきた。

懐かしくなって、今日はゲームのことをずっと考察していたので、
その一部と結論をメモとして記事を残すことにした。



数字当てゲームのルールは以下の通り。

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1対1の対戦ゲーム。
ゲーム開始前に、お互いそれぞれ0から9までの数字4桁を重複しないよう任意に選ぶ。
選んだ数字は証拠として紙に書くなどしておく。

ターン制で相手に質問していき、回答から相手の正解の数を推測する。
少ない質問回数で相手の正解の数を見出したほうが勝ち。

質問は「あなたの数字は、○○○○(4桁の数字)ですか?」形式で
回答は「X Hit(ヒット)、 Y blow(ブロー)です」となる。
Hitとは質問と正解の数を比べて、桁と数字が一致した数のこと。
Blowとは質問と正解の数を比べて、数字のみが一致した数のこと。
つまり、質問を重ね4Hitとなる数を推測する速さを競うゲームである。

例えば、正解の数が3162だとする。
質問の数が1234だと3Blow、3456だと1Hit,1Blow、3612だと2Hit,2Blowとなる。

-----------------------------------------------------------------------

WEBで調べてみるとこの数字当てゲーム「Moo」という名前で全世界で知られていて、
Hit & Blow, Cow & Bullとか色々呼び方があるらしい。

最小の質問回数で正解を導くことがこのゲームの戦略であり、
その戦略は様々なところで議論・最適化されているようだ。

最適戦略を考察した例: ※要pdf reader
数当てゲームMOOの最小質問戦略と最強戦略

戦略の質は公平に議論されなければならない。
実際のゲームに起こり得る運の要素を除いた上、
ゲーム間での独立性を持たせた上(=同様に確からしい)議論されないといけない。
つまり「まぐれ」は無く前回のゲームの数字を基に次回のゲームの数字を決めてはならない。

また、最適の戦略とは、常に回答に対して最適の質問を一つ導く固定戦略となる。
つまり、ゲーム中に最適な戦略から別の戦略に変えることはあり得ない。

議論にはゲームを∞回行うのと同じ精度が求められる。
そこで、0から9まで重複しない4桁の全数字5040(=10P4)種類について5040回ゲームを行い、
最小の質問回数となった固定戦略(プログラム)が最強と決める方法が取られている。
論文中ではこれを“「最小質問戦略」を「完全探索」によって求めた”と記している。

戦略は改善され、
1987年に平均質問回数が5.22回(=総質問回数26347回/総ゲーム数5040)という記録が達成された。
実際にゲームを行うと分かるが、これは相当小さな値である。

また、論文ではこの最適戦略に対して勝率が0.5を超える固定戦略が無いことも確かめているため、
Mooが最強の固定戦略があることも示している。
きっと今後も有志によって固定戦略は最適化されるであろう。



個人的な最適解は、、、、、秘密ということで(長くなるので)割愛することにする。



実際のゲームにおいては運の要素も存在するため、
最適な戦略があったとしても、実際のゲームではそれが最適とは限らないから面白い。



自分はこれまで最適解を考えたことがあるのはMOOだけでは無い。


一つ例をあげると五目並べ。
これは先手が必勝となる定石があることを中2の数学の授業中に知ったのを記憶している。
数学の先生に「何回やっても絶対勝てない」と言われて、その理由を探ったのがきっかけだった。
あの頃は、トランプのポーカーやマージャンの役などの確率を求めて遊んでいた時期だった。

最近は「ぷよぷよ」に興味を持っている。最近も活発に試合が行われ進化を続けている。
2010年8月14日(sat)には日韓戦が行われるので楽しみにしている。



今日、色々考えた結論としては、ゲームは相手あってこそと考える。

ゲーム理論は、ゲームをより理解し、より楽しくさせるものである。
ただ、ゲームの相手を探す以上に、これがなかなか難しい上、
ゲーム理論の話題で盛り上がることができるのは、議論の相手がいる場合に限ると思う。。。

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